1. Дешевле всего: "китайский" автобус из Чайнатауна. Долларов за 15 или 20 в одну сторону, 4.5 часа. Есть и недорогие автобусы от Пенн стэйшн, кажется. Автобусы от автовокзала (Грейхаунд, Питер Пен) будут подороже. Продолжительность пути у них у всех примерно одинаковая. 2. Комфортабельней всего: скоростной поезд от Пенн стейшн (Асела), 2 часа 45 минут. Обойдется долларов в 100 в одну сторону (зависит от рейса и когда покупать). 3. Дня три, наверно, в Вашингтоне стоит провести. Вообще говоря, стоит и дольше, но от Нью-Йорка отнимать жалко :)) Музеи там замечательные. Да и в городе есть чего посмотреть (там очень много всего и симпатичного, и исторического и вообще стоящего). 4. Бесплатны не все музеи, но большинство. Точнее говоря, бесплатны государственные, особенно те, что часть Смитсониан. Их много, но есть и другие. Скажем, Филлипс, бесплатен только в будни (в остальные дни платишь сколько хочешь), выставки платные; в Хиллвуде тоже просят сколько-то заплатить (вроде там тоже "suggested admission": можно платить и меньше рекомендованой цены). Вобщем, есть там платные музеи, но их меньшинство.

Гостиницы смотрите не в самом Вашингтоне, а в пригороде с метро. Я видел очень хорошие цены в районе аэропорта Рейгана (15 минут на метро до центра). На Экспидии район так и называется, Ronald Reagan Airport. В Arlington-Pentagon (одна остановка до аэропорта) тоже может быть недорого.