Задача 4.10

Clear[t]
Limit[(t/((Sqrt[t+1])-1)),t-> 0]/.t-> (x^2)+(y^2)

Задача 4.11

Assuming[α∈Reals,
f[x_,y_]=((((x^2)+(y^2)))^α)(E^(-((x^2)+(y^2))))]

Limit[Limit[f[x,y],x-> ∞],y-> ∞]

Limit[Limit[f[x,y],y-> ∞],x-> ∞]

pf[t_]=f[x,y]/.(x^2)+(y^2)-> t/.-(x^2)-(y^2)-> -t
Limit[pf[t],t-> ∞]

Задача 4.12

Clear[x,y,f]

f[x_,y_]=(((x^3)-y)/((x^3)+y));

Limit[Limit[f[x,y],y-> 0],x-> 0]

Limit[Limit[f[x,y],x-> 0],y-> 0]

Нет предела функции в данной точке

pf[p_,fi_]=f[x,y]/.{x-> p Cos[fi],y-> p Sin[fi]}

Задача 4.13

f[x_,y_]=(((x^2)+(y^2))/(1+(((x-y))^4)));

Limit[Limit[f[x,y],x-> ∞],y-> ∞]
Limit[Limit[f[x,y],y-> ∞],x-> ∞]

u=f[x,y]/.{x-> p Cos[fi],y-> p Sin[fi]}//FullSimplify
pf[p_,fi_]=u

Limit[pf[p,fi],p-> ∞]

u=f[x,y]/.{x-> p Cos[fi],y-> p Sin[fi]}/.fi-> Pi/4//FullSimplify
pf[p_,fi_]=u

Limit[pf[p,fi],p-> ∞]

Задача 4.14

Clear[f]
f[x,y]= ((x^y)/(1+(x^y)));

Assuming[y>0,Limit[Limit[f[x,y],y-> 0],x-> ∞]]

Assuming[y>0,Limit[Limit[f[x,y],x-> ∞],y-> 0]]

Assuming[y<0,Limit[Limit[f[x,y],y-> 0],x-> ∞]]

Assuming[y<0,Limit[Limit[f[x,y],x-> ∞],y-> 0]]

Нет предела

Задачу 4.15 решить мадкад

Задача 4.16

Clear[f,x,y]
f[x_,y_]=((Sin[x y])/(Sqrt[(x^2)+(y^2)]))/.{x-> p Cos[fi],y-> p Sin[fi]}

Limit[%,p-> 0]

Задача 4.17

f[x_,y_]=(((x^2)-(y^2))/((x^2)+(y^2)))/.{x-> p Cos[fi],y-> p Sin[fi]}

Limit[f[x,y],p-> 0]

Задача 5.1

a=Assuming[y<0,D[ArcSin[(x/(Sqrt[(x^2)+(y^2)]))],{{x,y}}]]//Simplify//PowerExpand

b=Assuming[y>0,D[ArcSin[(x/(Sqrt[(x^2)+(y^2)]))],{{x,y}}]]//Simplify//PowerExpand

Assuming[y<0,D[a,{{x,y}}]]//Simplify//PowerExpand

Assuming[y>0,D[b,{{x,y}}]]//Simplify//PowerExpand

Задача 5.3

f[x_,y_]=x(1+y)
c=D[f[x,y],{{x,y},2}]
diff=c[[1,1]] (dx^2)+c[[2,2]] (dy^2)+c[[1,2]] dx+c[[2,1]] dy

Clear[f]
f[x_,y_,z_]=ArcTan[((x  y)/z)]
c=D[f[x,y,z],{{x,y,z}}];
diff1=c[[1]] dx+c[[2]] dy+c[[3]] dz;//Simplify//PowerExpand
Collect[diff1,{dx,dy}]
c=D[f[x,y,z],{{x,y,z},2}];
diff2=c[[1,1]] (dx^2)+c[[2,2]] (dy^2)+c[[3,3]] (dz^2)+c[[1,2]] dx dy+c[[2,1]] dx dy+c[[3,1]] dz dx +c[[3,2]] dz dy +c[[1,3]] dz dx +c[[1,2]] dz dy;//Simplify//PowerExpand
Collect[diff2,{(dx^2),(dy^2),dx,dy}]

Задача 5.7

f[x_,y_]=Sin[(x^2)+(y^2)];
Dt[Dt[Dt[f[x,y]]]]/.{Dt[Dt[x]]-> 0,Dt[Dt[y]]-> 0};
Collect[%,{Dt[x],Dt[y]}]/.{Dt[x]-> dx,Dt[y]-> dy}

Задача 5.8

Clear[u]

u[x_,y_]=G[(x^2)+(y^2),(x^2)-(y^2)];
Dt[u[x,y]]/.{ (x^2)+(y^2)-> s, (x^2)-(y^2)-> t,Dt[x]-> dx,Dt[y]-> dy};
Collect[%,{dx,dy}]
Dt[Dt[u[x,y]]]/.{Dt[Dt[x]]-> 0,Dt[Dt[y]]-> 0,(x^2)+(y^2)-> s, (x^2)-(y^2)-> t,Dt[x]-> dx,Dt[y]-> dy,Derivative[1,0][G]-> (Subscript[U, s]),Derivative[2,0][G]-> (Subscript[U, ss]),Derivative[0,2][G]-> (Subscript[U, tt]),Derivative[0,1][G]-> (Subscript[U, t]),Derivative[1,1][G]-> (Subscript[U, st])};
Collect[%,{dx,dy}]